BILANGAN RILL DAN BILANGAN BULAT

# BILANGAN RILL

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan . Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.[1]

Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchyrasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.

Bilangan riil dapat digambarkan sebagai titik-titik pada garis bilangan yang panjangnya takhingga

Sifat-sifat

Aksioma medan

Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksiomaberikut.[1][2]. Misalkan x,y dan z merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xy merupakan perkalian. Maka:

• Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx
• Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z
• Aksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xz)
• Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda, yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan riil xkita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x.
• Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat juga melambangkan y sebagai -x.
• Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil y sehinggaxy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.

Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

Aksioma urutan

Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan berikut ini:[2]

• Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+
• Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -xanggota R+, tapi tidak mungkin keduanya sekaligus
• Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.

Aksioma kelengkapan

• Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yakni ada suatu bilangan riil B sehingga B=sup(S).

# BILANGAN BULAT

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, …) dan negatifnya (-1, -2, -3, …; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk “bilangan”).

Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.

Tabel sifat-sifat operasi bilangan bulat

	Penambahan	Perkalian
closure:	a + b   adalah bilangan bulat	a × b   adalah bilangan bulat
Asosiativitas:	a + (b + c)  =  (a + b) + c	a × (b × c)  =  (a × b) × c
Komutativitas:	a + b  =  b + a	a × b  =  b × a
Eksistensi unsur identitas:	a + 0  =  a	a × 1  =  a
Eksistensi unsur invers:	a + (−a)  =  0
Distribusivitas:	a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)
Tidak adapembagi nol:		jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya)

Bilangan bulat sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman

Dalam Pascal

Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam bahasa pemrograman Pascal. Walaupun memiliki ukuran 2 byte (16 bit),karena integeradalah type data signed maka hanya mampu di-assign nilai antara -215 hingga 215-1 yaitu -32768 sampai 32767. Ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET dan Borland Delphimemiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.

http://ambarprawoto.wordpress.com/tag/ilmu-matematika/

Himpunan dan Diagram venn

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan

Notasi Himpunan [sunting]

Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn

Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c,z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

	Notasi	Contoh
Himpunan	Huruf besar
Elemen himpunan	Huruf kecil (jika merupakan huruf)
Kelas	Huruf tulisan tangan

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan	Asli	Bulat	Rasional	Riil	Kompleks
Notasi

Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:

Simbol	Arti
atau	Himpunan kosong
	Operasi gabungan dua himpunan
	Operasi irisan dua himpunan
, , ,	Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
	Komplemen
	Himpunan kuasa

Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:

• Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

• Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.

Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:

Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.

Himpunan kosong Himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga, dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:

http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)

TEMAN YANG UNIK WAKTU BERKENDARAAN MOTOR

Suatu hari gue punya temen yang unik nih waktu smp (sekolah menegah pertama). Temen gue ini gendut, bagong lah badanya. Dia suka banget waktu smp naik motor sodaranya, padahal sama ayahnya dia belum boleh tuh naik motor pada waktu itu. Dia selalu bergaya-gayan pokoknya deh kalo bawa motornya di depan teman-teman gue yang cewek. Suatu hari gue pernah nih diboncengin sama dia pergi berenang, pada saat guru smp gw sedanng pengambilan nilai renang. Pas diboncengin dia gue sebenarnya agak ragu soalnya temen gue ini kalo bawa motor grasak-grusuk, biasa namanya juga masih smp lagi labil-labilnya coy. Haha. Alhamdulillah deh setelah perjalanan naik motor yang grasak-grusuk itu gue sampe tujuan dengan selamat Amin. Setelah pengambilan nilai selesai gue balik tuh ke rumah bareng dia lagi mau gak mau deh soalnya gue enggak ada ongkos buat naik angkutan kota. Nah disini nih keraguan gue terjawab sudah, pada saat perjalanan pulang temen gue ini bawa motornya ngebut banget wang-weng-wong udah kaya abis di kejar polisi deh. Pada saat kebut-kebutan yang menebarkan itu tiba-tiba dari arah depan motor temen gw ada bis belok tiba-tiba ke arah gue dan temen gue, pada saat itu juga temen gue yang panik menarik rem motor kedua-duanya dan tiba-tiba motor yang gue tumpangi jatuh lalu terseret sekitar yah 1/5 meter deh. Untungnya sebelum tuh motor jatuh gue udah loncat duluan kebelakang motor kalo enggak sama deh nasib gue sama kaya temen gue. Dan untungnya lagi temen gue kagak kelindes tuh mobil bis, kalo sampe kelindes gue bilang apa sama ayahnya nauzubilahminzalik. Disaat itu yang bikin gue ngakak adalah sebelum tuh gue bertemu dengan mobil bis dadakan itu, "gue udah bilang ketemen gue pelan-pelan  bos bawa motornya", tapi dengan "selow nya dia bilang selow gue ini titisanya Valentino Rossi". "gila nih bocah dalam hati gue haha", nah pas gue liat temen gue terkapar di jalanan, gue liat dia sedang meng gas motornya sekenceng-kencengnya dalam keadaan tertidur, eeh salah deh terkapar, sebelum gue nyamperin temen gue buat tolongin dia, gua liat ada tukang ojek nyamperin dia lalu tuh tukang ojek nayain temen gue, "kenapa de? makanya de kalo bawa motor jangan kenceng-kenceng", tapi yang gue heran kenapa tuh tukang ojek kagak bangunin temene gue, dia cuma bilang gitu ketemen gue terus ninggalin temen gue dalam kedaaan meng gas motor dalam kedaaan terkapar haha, gue kiran mau di tolongin enggak taunya temen gue di nasehatin doang tuh sama tukang ojek ,dalam kedaan temen gue terkpar haha, parah haha. enggak taunya temen gue bengong setelelah kejadian itu, dan gue samperin aja temen itu gue bangunin dia dari motor. Gue tanya dia "kenapa lo? udah tau jatuh malah tiduran aja terus ngegas motor aja lagi". dia bialang ke gue "gue keingetan bokap gue, kalo gue balik dalam keadaan ledes-ledes di tangan gue, gue bakalan di omelin nih, soalnya gue bawa motor". Salut gue sama temen gue ini masih inget-ingetnya takut di marahin bokap dari pada menyelamatkan dirinya dulu dalam keadaan terkapar haha. Besoknya temen gue ini udah kagak boleh bawa motor lagi, dan kalo ke sekolah dia di boncengin bokapnya di depan jok motor vespa bokapnya, udah kaya bocah SD haha. Selesai deh cerita pengalaman pribadi gue ini, semoga bermanfaat buat temen-temen blogger semua. Salam damai.

PEMENUH KEBUTUHAN PRIMER DAN SEKUNDER

Dalam menjalani kehidupannya, manusia dihadapkan pada berbagai permasalahan ekonomi. Permasalahan tersebut timbul akibat keinginan manusia mempertahankan kelangsungan hidupnya. Kelangsungan hidup dapat dipertahankan jika kebutuhan hidupnya terpenuhi. Selain itu, adanya keinginan untuk hidup layak menyebabkan kebutuhan hidup manusia beraneka ragam dan selalu bertambah. Akibatnya, kebutuhan hidup manusia menjadi tidak terbatas.

A. Kebutuhan Primer

Primer berasal dari kata primus, yang berarti pertama. Kebutuhan primer ini disebut juga kebutuhan alamiah karena kebutuhan ini berkaitan erat dengan kodrat kita sebagai manusia.Kebutuhan primer adalah kebutuhan dasar yang harus dipenuhi manusia agar hidup layak. Kebutuhan primer disebut juga kebutuhan pokok. Menurut International Labour Organization(ILO), kebutuhan primer adalah kebutuhan fisik minimal masyarakat berkaitan dengan kecukupan pokok setiap masyarakat, baik masyarakat kaya maupun miskin. Seandainya kebutuhan primer tidak dipenuhi, kelangsungan hidup manusia akan terganggu. Contoh kebutuhan primer, antara lain makan, minum, pakaian, dan tempat tinggal.

B. Kebutuhan Sekunder

Kebutuhan sekunder adalah kebutuhan yang bersifat sebagai pelengkap kebutuhan pokok (kebutuhan primer). Kebutuhan sekunder dapat dipenuhi setelah kebutuhan pokok terpenuhi. Kebutuhan ini berkaitan dengan aspek lingkungan sosial, tradisi masyarakat, budaya, dan psikologis. Kebutuhan sekunder setiap orang dapat berbeda-beda. Contoh kebutuhan sekunder, antara lain radio, perabot rumah tangga, pendidikan, tas, sepeda motor, meja, kursi, alat tulis, dan alat olah raga.

http://hedisasrawan.blogspot.com/2012/09/kebutuhan-dan-kelangkaan-sumber-daya.html