BILANGAN RILL DAN BILANGAN BULAT

# BILANGAN RILL

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan . Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.[1]

Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchyrasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.

Bilangan riil dapat digambarkan sebagai titik-titik pada garis bilangan yang panjangnya takhingga

Sifat-sifat

Aksioma medan

Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksiomaberikut.[1][2]. Misalkan x,y dan z merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xy merupakan perkalian. Maka:

• Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx
• Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z
• Aksioma 3 (hukum distributif): x(y+z) = (xy + xz)
• Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda, yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga untuk setiap bilangan riil xkita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x.
• Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat juga melambangkan y sebagai -x.
• Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil y sehinggaxy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.

Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.

Aksioma urutan

Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan berikut ini:[2]

• Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+
• Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau -xanggota R+, tapi tidak mungkin keduanya sekaligus
• Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.

Aksioma kelengkapan

• Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yakni ada suatu bilangan riil B sehingga B=sup(S).

# BILANGAN BULAT

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, …) dan negatifnya (-1, -2, -3, …; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk “bilangan”).

Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.

Tabel sifat-sifat operasi bilangan bulat

	Penambahan	Perkalian
closure:	a + b   adalah bilangan bulat	a × b   adalah bilangan bulat
Asosiativitas:	a + (b + c)  =  (a + b) + c	a × (b × c)  =  (a × b) × c
Komutativitas:	a + b  =  b + a	a × b  =  b × a
Eksistensi unsur identitas:	a + 0  =  a	a × 1  =  a
Eksistensi unsur invers:	a + (−a)  =  0
Distribusivitas:	a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)
Tidak adapembagi nol:		jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya)

Bilangan bulat sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman

Dalam Pascal

Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam bahasa pemrograman Pascal. Walaupun memiliki ukuran 2 byte (16 bit),karena integeradalah type data signed maka hanya mampu di-assign nilai antara -215 hingga 215-1 yaitu -32768 sampai 32767. Ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET dan Borland Delphimemiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.

http://ambarprawoto.wordpress.com/tag/ilmu-matematika/