TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI, ALJABAR LOGIKA, NEGASI INGKAN

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI, ALJABAR LOGIKA, NEGASI INGKAN

Tautologi adalah suatu proporsi majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya

Contoh pada table kebenaran

p	p	p p
B S	S B	B B

Definisi :

Kontradiksi adalah suatu proporsi majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya.

Contoh pada table kebenaran

p	p	p p
B S	S B	S S

ALJABAR LOGIKA :

3.1    Pernyataan / Proposisi Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak keduanya. Contoh 1 : p = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki nilai kebenaran benar/true) q = 23 = 32 (memiliki nilai kebenaran salah/false) Contoh 2 : Berikut ini adalah beberapa contoh proposisi : a.    1 + 2 = 3 b.    Presiden RI tahun 2005 adalah SBY c.    6 adalah bilangan prima d.    Warna bendera RI adalah biru dan merah Kalimat-kalimat di atas adalah kalimat proposisi karena dapat diketahui benar/salahnya. Kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat (c) dan (d) bernilai salah. Contoh 3 : Berikut ini adalah beberapa contoh kalimat yang bukan merupakan proposisi : a.    Di manakah letak pulau seribu? b.    Ersa lebih tua dari Arsi c.    x + y = 5 d.    2 mencintai 3 Kalimat (a) jelas bukan proposisi karena merupakan kalimat tanya sehingga tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat (b) juga bukan proposisi karena ada banyak orang dibumi ini yang bernama Ersa dan Arsi. Kalimat tersebut tidak memberikan keterangan yang lebih spesifik sehingga tidak diketahui kebenaran bahwa Ersa lebih tua dari Arsi. Dalam kalimat (c), nilai kebenaran kalimat tergantung pada harga x dan y yang ada. Jika x =1 dan y = 4, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang benar. Tetapi jika x = 4 dan y = 5, maka kalimat tersebut menjadi kalimat yang salah. Jadi secara umum tidak dapat ditentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah.     Kalimat (e), walaupun mempunyai susunan kalimat yang benar, tetapi tidak mempunyai arti karena relasi mencintai tidak berlaku pada bilangan. Oleh karena itu, kalimat tersebut tidak ditentukan benar atau salahnya.     Suatu pernyataan yang selalu benar dalam semua keadaan dinamakan tautologi , sedangkan pernyataan yang selalu salah dalam semua keadaan dinamakan kontradiksi.

3.2    Negasi / Ingkaran Negasi suatu kalimat akan mempunyai niali kebenaran yang berlawanan dengan nilai kebenaran kalimat aslinya. Jadi jika nilai p bernilai benar maka   bernilai salah. Sebaliknya jika p bernilai salah, maka   akan bernilai benar.

http://aimprof08.wordpress.com/2012/04/24/tautologi-kontradiksi-dan-kontingensi/
Source: http://endriass.blogspot.com/2012/03/aljabar-logika.html
Konten ini di miliki dan hak ciptanya oleh http://endriass.blogspot.com/

DOMAIN, KODOMAIN DAN RANGE

Domain, Kodomain, dan Range

a. Domain adalah daerah kawan
b. Kodomain adalah daerah kawan
c. Range adalah daerah hasil dari himpunan bagian  dari kodomain.

Contoh

Himpunan A = {1,2,3,4,5,6,7} adalah domain
Himpunan B = {1,2,3,4,5,6,7,8} disebut kodomain
Himpunan semua peta = {2,3,4,5,6,7} disebut range

Tulisan ini disusun berdasarkan pembelajaran Matematika SMP Preceptorial.

RELASI

RELASI

Contoh . Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
(a)      R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:

Pengertian
Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara
paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah dengan
himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian
kartesian.

Definisi yang lain:
1. Perkalian kartesian (Cartesian products) antara himpunan A dan B ditulis: A x B
didefinisikan sebagai semua himpunan pasangan terurut dengan komponen pertama
adalah anggota himpunan A dan komponen kedua adlah anggota himpunan B.
A x B = { (x,y) / xÎA dan yÎB}

2. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.
A disebut daerah asal dari R (domain) dan B disebut daerah hasil (range) dari R.

3.Relasi pada A adalah relasi dari A ke A.

contohnya :

1. Misal X = {a,b,c}, B = {1,2}, maka : A x B = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
2. Misal R adalah relasi pada A = {2,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh (x,y)ÎR jika x
   adalah factor prima dari y, maka:
   R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}

Representasi Relasi
1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah
 
 2. Representasi Relasi dengan Tabel
•    Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

3. Representasi Relasi dengan Matriks
•    Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}.
•    Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij],

        

yang dalam hal ini:

 Contoh . Relasi R pada Contoh 3 dapat dinyatakan dengan matriks

dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = IF221,
b2 = IF251, b3 = IF342, dan b4 = IF323.

Relasi R pada Contoh 4 dapat dinyatakan dengan matriks





yang dalam hal ini, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, dan b1 = 2, b2 = 4, b3 = 8, b4 = 9, b5 = 15.

4.  Representasi Relasi dengan Graf Berarah
•    Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)
•    Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.
•    Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)
•    Jika (a, b)  R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). 
•    Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).




Sifat-sifat Relasi Biner
•    Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.
1.  Refleksif (reflexive)
•    Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a)  R untuk setiap a  A.

•    Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a  A sedemikian  sehingga (a, a)  R

 

Contoh. 

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.
 R : x lebih besar dari y,     S : x + y = 5,    T : 3x + y = 10
Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.
•    Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

•    Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

•    Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

2.    Menghantar (transitive)
 •    Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b)  R dan (b, c)  R, maka (a, c)     R, untuk a, b, c  A.
(a).      R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut: 

 

(b).   R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena
(c).   (2, 4) dan (4, 2)  R, tetapi (2, 2)  R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3)  R, tetapi (4, 3)  R.   
(d).   Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar
(e).  Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) R dan (b, c)  R sedemikian sehingga (a, c) R.
(f).   Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.                                            
Contoh 12. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb. Di sini  c = nma, sehingga a habis membagi c.  Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.                                                

Contoh 13. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.
    R : x lebih besar dari y,     S : x + y = 6,    T : 3x + y = 10
-  R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.
- S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4)  S.
- T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} menghantar.                  

•    Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya
•    Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur  dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.  

Relasi Inversi

• Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh

   R–1 = {(b, a) | (a, b) e R }

Contoh 17. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) e R  jika p habis membagi q maka kita peroleh

    R  = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

R–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P  dengan

(q, p) e R–1  jika q adalah kelipatan dari p

maka kita peroleh

    R–1  = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }                           

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R

 

maka matriks yang merepresentasikan relasi R–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

Demikian artikel singkat tentang Matematika Driskrit Bab Relasi, semoga bermanfaat.

http://ariee93.blogspot.com/2012/09/relasi.html